设数列的前项和满足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.
(1),;(2)当且仅当或时等号成立.
解析试题分析:(1)已知 与 的关系式求出首项和通项,通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由(1)得到,分析第1,2项可得后要证的问题等价于本题是通过利用对称项的关系来证明的,该对称项是通过对的范围的讨论得到的. 通过累加后得到,然后不等式的两边同时加上即可得到答案.
试题解析:⑴ ………①,
当时代入①,得,解得;
由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,
故(对也满足);
⑵当或时,显然,等号成立.
设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:
即证:
当时,上面不等式的等号成立.
当时,与,()同为负;
当时, 与,()同为正;
因此当且时,总有 ()()>0,即
,().
上面不等式对从1到求和得,;
由此得 ;
综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.
考点:1.数列的求和与通项的关系.2.数列中不等式的证明.3.数列的累加法的应用.4.分类的思想.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知等差数列的首项,公差,且第项、第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列对任意,均有成立.
①求证:; ②求.
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已知数列前n项和=(), 数列为等比数列,首项=2,公比为q(q>0)且满足,,为等比数列.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,记数列的前n项和为Tn,,求Tn。
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若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列中,,点在函数的图象上,其中为正整数.
(Ⅰ)证明数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前项积为,即,求;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记,求数列的前项和,并求使的的最小值.
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已知数列{an}满足,,.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)是否存在互不相等的正整数、、,使、、成等差数列,且、、 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的、、;如果不存在,请说明理由.
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