Question

（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中点．
  （1）求证：EC//平面APD；
（2）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
（3） 求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，
∵E是BP的中点，
∵EF//AB且，又∵
∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD
又∵EC平面PAD，FD平面PAD,∴EC//平面ADE．    …………………4分
（Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD     ∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影   ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角
∵四边形ABCD中， 
∴四边形ABCD是直角梯形  
设AB=2a，则，在中,易得,
，又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴在中，．   …………………8分
（III）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB="2a"
，又∴
在中，
∴二面角P-AB-D的大小为．   …………………12分
解法二：   
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得
如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．则，，
则，
平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1），
所以，
可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为
所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为．    …………………8分
（III）易知，则，设平面PAB的一个法向量为，则   ，
令，可得 得，
所以二面角P-AB-D的大小为．     …………………12分