Question

10．已知函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-2}$（a^x-a^-x）（其中a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 首先证明函数g（x）=a^x-a^-x的增减性，然后得到函数f（x），由函数f（x）在R上是增函数可得：当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-2}$＞0；当0＜a＜1时，$\frac{a}{{a}^{2}-2}$＜0．由此求得a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-2}$（a^x-a^-x）（其中a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数，
设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，设g（x）=a^x-a^-x ，则由题意可得a＞0，且a≠1．
则 g（x₁）-g（x₂）=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$）=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{•a}^{{x}_{2}}}$），
当a＞1时，由x₁＜x₂，得 ${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，g（x₁）-g（x₂）＞0，则函数g（x）=a^x-a^-x为增函数；
当0＜a＜1时，由x₁＜x₂，得${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，g（x₁）-g（x₂）＜0，则函数g（x）=a^x-a^-x为减函数．
①当a＞1时，要使此函数f（x）为增函数，则 $\frac{a}{{a}^{2}-2}$＞0，解得 a＞$\sqrt{2}$．
②当0＜a＜1时，$\frac{a}{{a}^{2}-2}$＜0，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x）为增函数．
综上可得，a的范围为a＞$\sqrt{2}$ 或0＜a＜1．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，体现了转化的数学思想和分类讨论的数学思想，属于中档题．