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已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0给出以下结论:
①f(0)=1;
②f(x)为R上的奇函数;
③|f(x)|为R上的偶函数;
④f(x)为R上的增函数
⑤f(x)+1为R上的减函数;
其中正确的结论有
②④
②④
分析:根据题设条件,令x=y=0,能够求出f(0);令y=-x,得f(x)+f(-x)=0,由此能够判断f(x)为R上的奇偶性;在R上取x1<x2,则x2-x1>0,由x>0时,f(x)>0,能够判断f(x)为R上的增减性.
解答:解:∵定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),
∴f(0)=0,故①错误;
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)为R上的奇函数,故②正确,③错误;
在R上取x1<x2,则x2-x1>0,
∵当x>0时,f(x)>0,
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x)为R上的增函数,故④正确,⑤错误.
故选②④.
点评:本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,注意抽象函数的性质的灵活运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列条件:
①对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函数,
则下列不等式中正确的是(  )

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已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  则:
①f(3)的值为
0
0

②f(2011)的值为
-1
-1

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已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]时f(x)=
1,(-1<x≤0)
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,则f(3)=(  )

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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