已知函数.
(1)证明:;
(2)当时,
,求
的取值范围.
(1)证明过程详见解析;(2).
解析试题分析:本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,因为,所求证
,所以只需分母
即可,设函数
,对
求导,判断函数的单调性,求出最小值,证明最小值大于0即可,所求证的不等式的右边,需证明函数
的最大值为1即可,对
求导,判断单调性求最大值;第二问,结合第一问的结论
,讨论
的正负,当
时,
,而
与
矛盾,当
时,当
时,
与
矛盾,当
时,分母
去分母,
等价于
,设出新函数
,需要讨论
的情况,判断在每种情况下,
是否大于0,综合上述所有情况,写出符合题意的
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设,则
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以.
又,故
. 2分
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
所以.
综上,有. 5分
(Ⅱ)(1)若,则
时,
,不等式不成立. 6分
(2)若,则当
时,
,不等式不成立. 7分
(3)若,则
等价于
. ①
设,则
.
若,则当
,
,
单调递增,
. 9分
若,则当
,
,
单调递减,
.
于是,若,不等式①成立当且仅当
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
经调查统计,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量(升)关于行驶速度
(千米/时)的函数可表示为
.已知甲、乙两地相距
千米,在匀速行驶速度不超过
千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地 到乙地的耗油量记为
(升).
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)讨论函数的单调性,当
为多少时,耗油量
为最少?最少为多少升?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的导函数是
,
在
处取得极值,且
.
(Ⅰ)求的极大值和极小值;
(Ⅱ)记在闭区间
上的最大值为
,若对任意的
总有
成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)设是曲线
上的任意一点.当
时,求直线OM斜率的最小值,据此判断
与
的大小关系,并说明理由.
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