Question

在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=

π

4

，曲线C的参数方程为

x= 2 cosθ y=sinθ

．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l₁的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=

8

3

，求点M轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M（x₀，y₀）以及平行于直线l₁的直线参数方程，直线l₁与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=

8

3

，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，

解答： 解：（1）直线l的极坐标方程为θ=

π

4

，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
曲线C的参数方程为

x= 2 cosθ y=sinθ

．消去参数θ，
可得曲线C：

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）设点M（x₀，y₀）及过点M的直线为l1：

x=x0+ 2 t 2 y=y0+ 2 t 2

由直线l₁与曲线C相交可得：

3t2

2

+

2

tx0+2

2

ty0+x02+2y02-2=0|MA|•|MB|=

8

3

⇒|

x02+2y02-2

3 2

|=

8

3

，即：x02+2y02=6，
x²+2y²=6表示一椭圆…（8分）
取y=x+m代入

x2

2

+y2=1得：3x²+4mx+2m²-2=0
由△≥0得-

3

≤m≤

3

故点M的轨迹是椭圆x²+2y²=6夹在平行直线y=x±

3

之间的两段弧…（10分）

点评：本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．