Question

已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

Answer 1

分析：分两种情况：（1）B点刚好为圆与x轴相切的切点，所以B在x轴上得到a=0，因为直线AB的中垂线与x=4的交点为圆心，
所以先求出中垂线方程，方法是利用中点坐标公式求出A与B的中点坐标，根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出斜率，然后与x=4联立可得圆心坐标，圆心的纵坐标为半径，得到相应圆的方程；（2）AB与x轴平行时即得到a=1，圆与x轴相切，得到AB的中垂线方程为x=2，设出圆心坐标，根据圆心到A的距离等于圆心的纵坐标求出圆心坐标，而圆的半径为圆心的纵坐标，得到圆的方程．

解答：解：分两种情况考虑：
（i）设圆心坐标为（x，y），当B点为切点时，B在x轴上，所以a=0．则B（4，0），所以AB的中点坐标为（2，

1

2

），直线AB的斜率为

1-0

0-4

=-

1

4

，则AB中垂线的斜率为4，所以AB中垂线的方程为y-

1

2

=4（x-2）与x=4联立解得x=4，y=

17

2

，所以圆的方程为：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；
（ii）当a=1时，AB与x轴平行，则AB的中垂线方程为x=2，设圆心坐标为（2，y），根据勾股定理得：y²=2²+（y-1）²，解得y=

5

2

，所以圆的方程为：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．
综上：当a=0时，相对应的圆的方程为：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；当a=1时，相对应的圆的方程为：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．

点评：此题是一道综合题，要求学生会根据两点坐标求其中垂线方程，利用运用圆的性质定理，会根据圆心和半径写出圆的标准方程．