Question

13．对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的“不动点”；若f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=2x+1，求集合A和B；
（2）求证A⊆B．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=2x+1，要求集合A和B，解出两个方程f（x）=x与f[f（x）]=x的根，此两方程的解集即为集合A和B；
（2）分A=∅和A≠∅的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．

解答 （1）解：令f（x）=2x+1=x，
解得x=-1，故有A={-1}
由于f[f（x）]=2（2x+1）+1=4x+3，
令4x+3=x，得x=-1，故有B={-1}；
（2）证明：若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，
设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．

点评 本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．