Question

10．设向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=（1，0）（x，y，z∈R），则x²+y²+z²的最小值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由（1，0）=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=$（x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z，\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z）$，可得$x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z$=1，$\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z$=0，化为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+z}\\{y=-z}\\{z=z}\end{array}\right.$，代入x²+y²+z²，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵（1，0）=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$=x（1，0）+y（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+z（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$（x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z，\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z）$，
∴$x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z$=1，$\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z$=0，
化为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+z}\\{y=-z}\\{z=z}\end{array}\right.$，
∴x²+y²+z²=（1+z）²+2z²=3z²+2z-1=$3（z+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{2}{3}$≥$\frac{2}{3}$，当z=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴x²+y²+z²的最小值为$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的线性运算、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．