Question

4．如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，点D，E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥平面PBC．
（1）证明：EF∥BC
（2）证明：AB⊥平面PEF
（3）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）由EF∥平面PBC，BC?平面PBC，BC?平面ABC，能证明EF∥BC．
（2）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．
（3）设BC=x，可求AB，S_△ABC，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，求得S_△AFE=$\frac{4}{9}$S_△ABC，由AD=$\frac{1}{2}$AE，可求S_△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（2）知PE为四棱锥P-DFBC的高，求得PE，由体积V_P-DFBC=$\frac{1}{3}$S_DFBC•PE=7，即可解得线段BC的长

解答 证明：（1）∵EF∥平面PBC，BC?平面PBC，
∴EF与BC不相交，
∵E在线段AC上，点F在线段AB上，
∴EF?平面ABC，又BC?平面ABC，
∴EF∥BC．
（2）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．
因为AB⊥BC，EF∥BC，故AB⊥EF，
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
解：（3）设BC=x，则在直角△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
从而S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$x$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
由EF∥BC知$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{3}$，得△AFE∽△ABC，
故$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，即S_△AFE=$\frac{4}{9}$S_△ABC，
由AD=$\frac{1}{2}$AE，S_△AFD=$\frac{1}{2}$S_△AFE=$\frac{1}{2}•\frac{4}{9}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{9}×\sqrt{36-{x}^{2}}$，
从而四边形DFBC的面积为：S_DFBC=S_△ABC-S_AFD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{36-{x}^{2}}-\frac{1}{9}×\sqrt{36-{x}^{2}}$=$\frac{7}{18}$x$\sqrt{36-{x}^{2}}$．
由（2）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．
在直角△PEC中，PE=$\sqrt{P{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
故体积V_P-DFBC=$\frac{1}{3}$S_DFBC•PE=$\frac{1}{3}•\frac{7}{18}$x$\sqrt{36-{x}^{2}}$$•2\sqrt{3}$=7，
故得x⁴-36x²+243=0，解得x²=9或x²=27，由于x＞0，可得x=3或x=3$\sqrt{3}$．
所以：BC=3或BC=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．