Question

（2011•盐城二模）如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B（5，

8

3

3

），DF⊥OC，垂足为F．
（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？

Answer 1

分析：（I）利用函数的解析式，结合函数的图象求出A，ω，通过函数经过B，求出φ，即可求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）求出D（4，4），曲线OD的方程为y²=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面积的表达式，利用函数的导数求出面积的最大值，推出P的位置即可．

解答：解：（Ⅰ）对于函数y=Asin（ωx+φ）由图象可知，A=

8

3

3

，ω=

2π

T

=

2π

4(8-5)

=

π

6

，
将（5，

8

3

3

），代入y=

8

3

3

sin（

π

6

x+φ）得：

5π

6

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
|φ|＜

π

2

，所以φ=-

π

3

，所以函数的解析式为y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）．
（Ⅱ）在y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）中，令x=4，得D（4，4）
从而得曲线OD的方程为y²=4x，（0≤x≤4）．
设点P（

t2

4

，t）（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S=(4-

t2

4

)t，0≤t≤4．
因为S′=4-

3t2

4

，由S′=0得t=

4 3

3

，且t∈(0，

4 3

3

)时S′＞0，S递增，
t∈(

4 3

3

，4)时S′＜0，S递减，
所以当t=

4 3

3

，S最大，此时点P的坐标(

4

3

，

4 3

3

)．

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，利用导数研究函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力．