已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都以点A(,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A,斜率为k,当0<k<1时,双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为,试求k的值及此时B点的坐标.
(1) x2-y2=2, (2) B(2,
)
(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0,).
∴a==b,所求双曲线C的方程为x2-y2=2.
(2)设直线l: y=k(x-)(0<k<1
,
依题意B点在平行的直线l′上,且l与l′间的距离为.
设直线l′:y=kx+m,应有,
化简得m2+2km=2
②
把l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0,
由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0
可得m2+2k2=2 ③
②、③两式相减得k=m,代入③得m2=
,解得m=
,k=
,
此时x=,y=
故B(2
,
).
科目:高中数学 来源:重庆市高考真题 题型:解答题
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