Question

8．已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为$（\sqrt{3}，0）$，椭圆C经过点P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求椭圆C的方程； 
（2）设直线y=kx+b与椭圆C交于A，B两点，若|AB|=2，△AOB的面积S=1，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．（a＞b＞0），由题意可得c=$\sqrt{3}$，将P的坐标代入椭圆方程，由a，b，c的关系可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由|AB|=2，△AOB的面积S=1，可得O到直线AB的距离为2，即b²=1+k²．由弦长公式表示|AB|=2，即可求出直线的斜率k．，b．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．（a＞b＞0）∵$\left\{{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{{a^2}-{b^2}=3}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=1}\\{{c^2}=3}\end{array}}\right.⇒\begin{array}{l}{∴椭圆的方程为}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}$…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O点到AB的距离为d，则由$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=2$，则d=2，
又由距离公式$\frac{|b|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，则b²=1+k²．…①…（6分）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}+8kbx+4{b^2}-4=0$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，…（8分）

则$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4•\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4（16{k^2}+4-4{b^2}）}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}$②
把②代入①，化简可以得到4k⁴-4k²+1=0，即${k^2}=\frac{1}{2}$，且${b^2}=\frac{3}{2}$，…（11分）
则直线AB的方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理求弦长，属于中档题．