分析 ①将b=-1代入函数f(x)的表达式,求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值;
②先求出函数f(x)的导数,问题转化为从而3b≤-5x+2,$x∈(0,\frac{1}{3})$恒成立,从而求出b的范围;
③先求出函数的导数,通过讨论b的范围,从而求出函数的单调性.
解答 解:①当b=-1时$f'(x)=\frac{-5x(x-1)}{{\sqrt{1-2x}}}$,定义域为$(-∞,\frac{1}{2})$.
当x∈(-∞,0)时f′(x)<0,当$x∈(0,\frac{1}{2})$,f′(x)>0时,
所以,当x=0时取得极小值f(0)=-1,无极大值.
②$f'(x)=\frac{-x(5x+3b-2)}{{\sqrt{1-2x}}}$,当$x∈(0,\frac{1}{3})$时$\frac{-x}{{\sqrt{1-2x}}}$<0,
故5x+3b-2≤0,从而3b≤-5x+2,$x∈(0,\frac{1}{3})$恒成立,
设g(x)=-5x+2,$x∈(0,\frac{1}{3})$,即3b≤g($\frac{1}{3}$),解得b≤$\frac{1}{9}$;
③$f'(x)=\frac{-x(5x+3b-2)}{{\sqrt{1-2x}}}$,定义域为$(-∞,\frac{1}{2})$,
当b=$\frac{2}{3}$时,在$(-∞,\frac{1}{2}]$上单调递减;
当b≤$-\frac{1}{6}$时,f(x)在(-∞,0)内单调递减,在$(0,\frac{1}{2})$内单调递增;
当$-\frac{1}{6}<b<\frac{2}{3}$时,f(x)在(-∞,0)内单调递减,在$(0,\frac{2-3b}{5})$内单调递增,在 $(\frac{2-3b}{5},\frac{1}{2})$内单调递减;
当$b>\frac{2}{3}$时,f(x) 在$(-∞,\frac{2-3b}{5})$内单调递减,在$(\frac{2-3b}{5},0)$内单调递增;在$(0,\frac{1}{2})$内单调递减.
点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题,考查函数恒成立问题,分类讨论思想,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | a>c>b | D. | c>b>a |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [-3,-2] | B. | [-2,0] | C. | [-3,0] | D. | [-2,1] |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1)n$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$ | B. | (-1)n$\frac{n(n+2)}{n+1}$ | C. | (-1)n$\frac{n(n+2)}{2n+1}$ | D. | (-1)n$\frac{(n+1)^{2}-1}{2(n+1)}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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