Question

 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．
（1）求证：AN∥平面MBD；
（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；
（3）求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，连接OM，可得OM∥AN，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，写出各点的坐标，

AN

=(1，2，2)，

PD

=(0，6，-3)，AN与PD的夹角就是异面直线AN与PD所成角，然后求出其余弦值．
（3）侧棱PA⊥底面ABCD，可得平面BCD的一个法向量为

AP

=(0，0，3)，设平面MBD的法向量为m=（x，y，z），两个法向量的夹角就是二面角M-BD-C，然后再求出其余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接OM，
∵底面ABCD为矩形，
∴O为AC中点，（1分）
∵M、N为侧棱PC的三等分点，
∴CM=MN，
∴OM∥AN，（3分）
∵OM?平面MBD，AN不属于平面MBCD，
∴AN∥平面MBD．（4分）

（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，6，0），D（0，6，0），P（0，0，3），M（2，4，1），N（1，2，2），
∵

AN

=(1，2，2)，

PD

=(0，6，-3)，（5分）
∴cos＜

AN

，

PD

＞=

AN • PD

| AN || PD |

=

0+12-6

3×3 5

=

2 5

15

，（7分）
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为

2 5

15

．（8分）

（Ⅲ）∵侧棱PA⊥底面ABCD，
∴平面BCD的一个法向量为

AP

=(0，0，3)，（9分）
设平面MBD的法向量为m=（x，y，z），
∵

BD

=(-3，6，0)，

BM

=(-1，4，1)，并且m⊥

BD

，m⊥

BM

，
∴

-3x+6y=0 -x+4y+z=0

，
令y=1得x=2，z=-2，
∴平面MBD的一个法向量为m=（2，1，-2）．（11分）
cos＜

AP

，m＞=

AP •m

| AP ||m|

=-

2

3

（13分）
由图可知二面角M-BD-C的大小是锐角，
∴二面角M-BD-C大小的余弦值为

2

3

．（14分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面的夹角问题，此题建立直角坐标系比较简单，万一找不到面面角，用向量法求解也是可以的，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．