Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的大小．

Answer 1

解：方法一：
（Ⅰ）证明：在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=C=1
∴B₁D=，同理BD=
在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D?平面BB₁C₁C，∴B₁D⊥ABAB∩BD=B∴B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=
∴tan∠ADB=，∴∠ADB=arctan．
即平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的大小为arctan．（12分）
方法二：
证明：（Ⅰ）如图所示建立空间直角坐标系B-xyz
则A（0，1，0），B（0，0，0）C（1，0，0），
D（1，0，1），B₁（0，0，2），C₁（1，0，2）
于是=（1，0，-1），=（1，0，1），
=（0，1，0）
（Ⅰ）∵=（1，0，-1）（1，0，1）=0
=（1，0，-1）（1，-1，1）=0
∴，即B₁D⊥BD，B₁D⊥AD，
又AD∩BD=D∴B₁D⊥平面ABD₁
（Ⅱ）设平面AB₁D的法向量为=（a，b，c），
则由得
令c=1得a=1，b=2∴n=（1，2，1），
易知平面BB₁C₁C的法向量为=（0，1，0）
设平面AB₁D与平面BB₁C₁C所成角的大小为θ
则cosθ=
即平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的大小为arccos．（12分）
分析：（法一）
（I）由已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90，易得AB⊥平面BB₁C₁C，从而可得AB⊥DB₁；由2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点可证B₁D²+BD²=BB₁²，即可证BD⊥B₁D，从而可证
（II）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，则∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角，Rt△ABD中求解∠ADB即可
（法二：向量法）
（I）结合条件考虑分别以BC、BA、BB₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B-xyz，要证B₁D⊥平面ABD?证明B₁D⊥BD，B₁D⊥AB?
（II）易知平面BB₁C₁C的法量为，求出平面AB₁D的法向量，代入公式求解即可
点评：本小题主要考查空间线面关系中的垂直关系：利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的运用；二面角的平面角的作法利用定义法及空间向量法求解二面角的平面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是对基本知识与基本方法的综合考查．