Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N^*）．
（1）若数列{a_2n-1}是等比数列，求q与d满足的条件；
（2）当d=0，q=2时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n次运动的位移是a_n，第n次运动后，质点到达点P_n（x_n，y_n），求数列{n•x_4n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N^*），若数列{a_2n-1}是等比数列，分d=0与d≠0讨论解决；
（2）当d=0，q=2时，可求得a2n-1=2n-1，于是x₄=a₁-a₃=1-2，x8=1-2+22-23，…，从而求得x_4n=

1-22n

3

，S_n=x₄+2x₈+3x₁₂+…+（n-1）•x_4（n-1）+n•x_4n利用错位相减法可求得s_n．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d，q≠0，
①当d=0时，a_2n+1=qa_2n-1，显然{a_2n-1}是等比数列；
②当d≠0时，a₃=qa₁+d=q+d，a₅=qa₃+d=q（q+d）+d．
∵数列{a_2n-1}是等比数列，
∴

a

2 3

=a1a5，即（q+d）²=q（q+d）+d，化简得q+d=1．
此时有a_2n+1=qa_2n-1+1-q，得a_2n+1-1=q（a_2n-1-1），
由 a₁=1，q≠0，得a_2n-1=1（n∈N^*），则数列{a_2n-1}是等比数列．
综上，q与d满足的条件为d=0（q≠0）或q+d=1（q≠0，d≠0）．
（2）当d=0，q=2时，
∵a_2n+1=2a_2n-1，
∴a2n-1=a1•2n-1=2n-1，
依题意得：x₄=a₁-a₃=1-2，x8=1-2+22-23，…，
∴x4n=1-2+22-23+…+22n-2-22n-1=

1-(-2)2n

1-(-2)

=

1-22n

1+2

=

1-22n

3

．
∴1-3x4n=22n．
∴x4n=

1-22n

3

．
∴S_n=x₄+2x₈+3x₁₂+…+（n-1）•x_4（n-1）+n•x_4n=

1

3

(1+2+3+…+n)-

1

3

(1×22+2×24+3×26+…+n•22n)=

n(n+1)

6

-

1

3

(1×22+2×24+3×26+…+n•22n)．
令Tn=1×22+2×24+3×26+…+(n-1)•22(n-1)+n•22n①
4T_n=1×2⁴+2×2⁶+3×2⁸+…+（n-1）•2²ⁿ+n•2²ⁿ⁺²②
①-②得-3Tn=1×22+24+26+…+22n-n•22n+2=

22(1-22n)

1-4

-n•22n+2=

4

3

(22n-1)-n•22n+2．
∴Tn=

4

9

(1-22n)+

n•22n+2

3

=

4

9

+

(3n-1)•22n+2

9

．
∴Sn=

n(n+1)

6

-

4

27

-

(3n-1)•22n+2

27

．

点评：本题考查数列递推式，难点在于（2）x_4n的计算，着重考查数列求和，突出考查等差与等比数列的公式法求和及错位相减法求和，属于难题．