Question

已知函数f(x)=logm

x-3

x+3

，x∈[α，β]，（其中a＞0）．
（1）证明：a＞3；
（2）问是否存在实数m，使得自变量x在定义域[α，β]上取值时，该函数的值域恰好为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，求出函数的定义域，再由题设条件x∈[α，β]，（其中α＞0）即可得出α＞3．
（2）由题意，若存在这样的m，使得自变量x在定义域[α，β]上取值时，该函数的值域恰好为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，可先确定函数的单调性，确定出函数的最值，由最值建立起方程求参数m的取值范围即可．

解答：解：（1）

x-3

x+3

＞0?x＜-3，或x＞3，
∵f（x）定义域为[α，β]且α＞0，
∴α＞3．                                                  …（2分）
（2）∵3＜α＜β，m＞0，
∴m（α-1）＜m（β-1），而log_a m（α-1）＜log_am（β-1），
∴0＜m＜1，…（4分）
设β≥x₁＞x₂≥α，有

x1-3

x1+3

-

x2-3

x2+3

=

6(x1-x2)

(x1+3)(x2+3)

＞0，
∴当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减．                  …（7分）
又f（x）在[α，β]上的值域为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，
∴

f(β)=logm β-3 β+3 =logm(mβ-m) f(α)=logm α-3 α+3 =logm(mα-m)

即

mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0 mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0

又β＞α＞3，…（10分）
即α，β是方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0大于3的两个不相等的实数根，…（11分）
∴

0＜m＜1 △=16m2-16m+1＞0 - 2m-1 2m ＞3 mf(3)＞0

   解之得0＜m＜

2- 3

4

，…（15分）
因此，当0＜m＜

2- 3

4

时，满足题意条件的m存在．        …（16分）

点评：本题的考点是对数函数图象与性质的综合运用，考察了对数型函数的单调性的判断，对数定义域的求法，解题的关键理解题意，判断出函数的单调性是本题的重点，本题考查了转化的思想，由题意，将题设条件正确转化对顺利解题很重要．