Question

有两个相同的直三棱柱，高为

2

a

，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a（a＞0），用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意拼成一个三棱柱，求出表面积，拼成一个四棱柱，3种情况分别求出表面积，然后确定a的值．

解答：解：①拼成一个三棱柱时，有三种情况，将上下底面对接，其全面积为S三棱柱表面=2×

1

2

×3a×4a+(3a+4a+5a)×

4

a

=12a2+48．
3a边可以合在一起时，S三棱柱表面=2×2×

1

2

×3a×4a+2(5a+4a)×

2

a

=24a2+36
4a边合在一起时S三棱柱表面=2×2×

1

2

×3a×4a+2(5a+3a)×

2

a

=24a2+32．
②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为3a，4a，5a所在的侧面重合，其上下底面积之和都是2×2×

1

2

×3a×4a=24a2，但侧面积分别为：2(4a+5a)×

2

a

=36，2(3a+5a)×

2

a

=32，2(3a+4a)×

2

a

=28，
显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：S四棱柱表面=2×2×

1

2

×3a×4a+2(3a+4a)×

2

a

=24a2+28．
由题意，得24a²+28＜12a²+48，
解得0＜a＜

15

3

．
故答案为：0＜a＜

15

3

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．