Question

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a2•sinθ+a•cosθ-

π

4

=0，b2•sinθ+b•cosθ-

π

4

=0，则连接A（a²，a）、B（b²，b）两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（　　）

• A、相离
• B、相交
• C、相切
• D、不能确定

Answer 1

分析：根据实数a与b满足的两个关系式得到a与b是一个一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，然后要判断直线AB与单位圆的位置关系，只需求出圆心到直线的距离d与圆的半径1比较大小即可得到位置关系，所以先利用A与B的坐标写出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离d，最后比较d与半径1的大小即可得到位置关系．

解答：解：由题知，实数a与b为一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的两个解，所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

π 4

sinθ

又A（a²，a）、B（b²，b），所以直线AB的方程为：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化简得x-（a+b）y+ab=0
则单位圆的圆心（0，0）到直线AB的距离d=

|ab|

1+(a+b)2

=

| π 4 sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

π

4

＜1，
所以直线AB与圆心在原点的单位圆的位置关系是相交．
故选B

点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用韦达定理解决实际问题，利用运用点到直线的距离公式求值，掌握判断直线与圆位置关系的方法．