Question

数列{a_n}满足的前n项和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）计算数列{a_n}的前4项；
（2）猜想a_n的表达式，并证明；
（3）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出数列{a_n}的前4项，
（2）根据a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2-a_n+a_n-1即：a_n=

1

2

a_n-1+2，然后整理得a_n-2=

1

2

（a_n-2），进而求出a_n的通项公式，
（3）首先求出数列{n•a_n}的数列表达式an=2n-n(

1

2

)n-1，然后等差数列求和公式求出数列{2n}的前n项和，再利用错位相减法求出数列{n(

1

2

)n-1}的前n项和，进而求出数列{n•a_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）计算得：a1=1，a2=

3

2

，a3=

7

4

，a4=

15

8

．（3分）
（2）∵s_n=2n-a_n当n≥2时
∴s_n-1=2（n-1）-a_n-1两式相减可得：a_n=2-a_n+a_n-1即：
∵a n=

1

2

an-1+1?a n-2=

1

2

(an-1-2)
所以，数列{a_n-2}是首项为a₁-2=-1公比为

1

2

的等比数列
∵a n-2=(-1)•(

1

2

)n-1?a n=2-(

1

2

)n-1
即an=

2n-1

2n-1

（7分）
当n=1时，a₁=1，
∴an=

2n-1

2n-1

，
（3）因为n•an=2n-n•(

1

2

)n-1
设数列{n•(

1

2

)n-1}的前n项和为M_nM_n
=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+n•(

1

2

)n-1

1

2

Mn
=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n
两式相减可得：

1

2

Mn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n
=2-(n+1)•(

1

2

)nM_n
=4-(n+1)•(

1

2

)n+1（12分）

点评：本题主要考查数列求和和数列递推式的知识点，求数列递推式可以用数学归纳法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通项公式，第三问求和需要利用错位相减法解答，本题难度不是很大．