Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+

1

2

）+mlnx-（m+1）x+

9

8

，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

分析：（1）设出二次函数g（x），将已知条件代入g（x）的解析式，列出关于待定系数的方程，解方程求出各个系数，得到g（x）的解析式．
（2）将（1）中g（x）的解析式代入H（x），求出H（x）的导函数，根据自变量的范围，判断出H（x）的导函数的符号，判断出函数的单调性，得证．
（3）利用（2），H（x）的单调性，将要证的不等式化为关于m的不等式恒成立，构造新函数h（x），求出h（x）的导数，判断出导函数的符号，从而得到h（x）的单调性，求出h（x）的最大值，得到要证的不等式．

解答：解：（1）设g（x）=ax²+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2
所以

a= 1 2 c=-1

又g（1）=-1
所以b=-

1

2

所以g(x)=

1

2

x2-

1

2

x-1 
（2）H(x)=

1

2

x2+mlnx-(m+1)x，  (1＜m≤e)  
因为对?x∈[1，m]，
H′(x)=

(x-1)(x-m)

x

≤0
故H（x）在[1，m]上为减函数  
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上为减函数则：
|H（x₁）-H（x₂）|＜1?

1

2

m2-lnm-

1

2

＜1?

1

2

m-lnm-

3

2m

＜0
记h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)，
则h′(m)=

1

2

-

1

m

+

3

2m2

=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0
所以h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)是单调增函数，

所以h(m)≤h(e)=

e

2

-1-

3

2e

=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命题成立

点评：求函数模型已知的函数的解析式，一般用待定系数法求；利用导数判断函数的单调性，导函数大于0，对应的是函数的单调递增区间；导函数小于0对应的是函数的单调递减区间；解决不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题．