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过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点F作B1B2⊥x轴交双曲线于B1、B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H,求证:H的横坐标为定值.
考点:双曲线的简单性质
专题:证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:将直线BB1:x=c,代入双曲线方程得,y=±
b2
a
,即有B1(c,
b2
a
),B2(c,-
b2
a
),求出直线B2F1:y=-
b2
2ac
(x+c),与双曲线的交点B的坐标,再由斜率公式,求出直线BB1的斜率,写出直线方程,再令y=0,即可得到定值.
解答: 证明:由于F(c,0),F1(-C,0),
则直线BB1:x=c,代入双曲线方程得,y=±
b2
a

即有B1(c,
b2
a
),B2(c,-
b2
a
),
直线B2F1:y=-
b2
2ac
(x+c),与双曲线的交点B的坐标满足,
y=-
b2
2ac
(x+c)
x2
a2
-
y2
b2
=1
,解得B(
3cb2-4c3
4c2-b2
-b4
a(4c2-b2)
),
直线BB1的斜率为kBB1=
b2
a
+
b4
a(4c2-b2)
c-
3cb2-4c3
4c2-b2
=
b2c
a(2c2-b2)

直线BB1:y=kBB1(x-c)+
b2
a

令y=0,则x=c-
b2
a
1
kBB1
=-
a2
c

故H的横坐标为定值,且为-
a2
c
点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查联立双曲线方程和直线方程,解得交点,考查直线的斜率和直线方程的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错题.
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PB
PC
=-3
,则
AB
AC
=
 

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计算:
(1)
481×
9
3
2
;           
(2)2
3
×
31.5
×
612

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PM
PN
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2
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(2)若二面角C-BM-A的大小为60°,求BC的长;
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a
x
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