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如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2
,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角.
(1)求证:平面A1DE⊥平面A1AE;
(2)求异面直线A1E、CD所成的角;
(3)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使得
AM
AD
,且
MG⊥平面A1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据二面角的平面角的定义,可得二面角的棱垂直于平面角所在的平面,得线面垂直,再由线面垂直⇒面面垂直.
(2)建立空间直角坐标系,给出相关点与向量的坐标,根据AE⊥DE,求出m的值,再求向量夹角的余弦值.
(3)根据
AM
AD
,写出M的坐标,求出
MG
的坐标,根据条件MG⊥DE,MG⊥EA1确定是否存在λ.
解答:解:(1)证明:∵∠AEA1为二面角A1-ED-A的平面角
∴A1E⊥ED,AE⊥ED,A1E∩AE=E,∴ED⊥平面A1AE,DE?平面A1DE,
∴平面A1DE⊥平面A1AE.
(2)如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,
2
),B(1,0,0),D(0,m,0),E(1,
m
2
,0).
A1E
=(1,
m
2
,-
2
),ED=(-1,
m
2
,0
),AE=(1,
m
2
,0
),
∵AE⊥ED,
AE
ED
=0
,即-1+
m2
4
=0⇒m=2,则C(1,2,0),
CD
=(-1,0,0)
EA1
=(-1,-1,
2
)
,cos
EA1
CD
=
EA1
CD
|
EA1
||
CD
|
=
1
1+1+2
×
1
=
1
2

∴异面直线A1E、CD所成的角为60°.
(3)依题意得:G(
1
3
,1,
2
3
),
AM
AD
,∴M(0,2λ,0).
MG
=(
1
3
,1-2λ,
2
3
),
假设存在λ满足题设条件,则
MG
•EA1=0
,且
MG
ED
=0

-1•
1
3
+(-1)•(1-2λ)+
2
2
3
=0
-1•
1
3
+1•(1-2λ)+0•
2
3
=0

解得λ=
1
3

故存在实数λ=
1
3
,使得
AM
AD
,且MG⊥平面A1ED同时成立.
点评:本题考查了利用向量坐标运算求异面直线所成的角,考查用向量法解决立体几何中的存在性问题,考查了学生的运算能力及逻辑推理能力,本题对向量的工具作用体现较好.
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19、如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
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15、如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中被截去一部分,
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②EF⊥平面BCC1B1
③EF与C1D所成角为45°;
④EF∥平面A1B1C1D1
不成立的是(  )

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(2)若F是CD的中点,AB=BC=1,且四面体A1C1DF体积为
2
12
,求三棱锥F-A1C1D的高.

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A、
74
B、5
2
C、4
5
D、3
10

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