Question

（本小题满分14分）

(1)　证明：当时，不等式成立；

(2)　要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；

 (3)请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：见解析；

（2）∵　对任何且，式子与同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为且．

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，

则有　．

证明：见解析。

【解析】(1)证明易采用作差比较，然后对差值分解因式，再判断每个因式的符号，从而确定差值符号.

（2）根据（1）先观察成立时应具体什么条件，然后再采用作差比较法进行证明.

（1）证明：左式－右式＝,

∵　　　，　

∴，

∴　　不等式成立．

（2）∵　对任何且，式子与同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为且．

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，

则有　．

证明：左式-右式

．

 若，则由不等式成立；

 若，则由不等式成立.

∴　综上得：　　若　且，，，

则有　成立．

注：（3）中结论为：若且，，

则有　也对．