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设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,BxB,yB∈Z.令△x=xB-xA,△y=yB-yA,若|△x|+|△y=3,且|△x|-|△y|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作:B=i(A).
(Ⅰ)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说明理由;
(Ⅱ)已知点H(9,3),L(5,3),若点M满足M=i(H),L=i(M),求点M的坐标;
(Ⅲ)已知P0(x0,y0)(x0∈Z,Y0∈Z)为一个定点,点列{Pi}满足:Pi=i(Pi-1),其中i=1,2,3,…,n,求|P0Pn|的最小值.
(I)因为|△x|+|△y=3,且|△x|-|△y|≠0,|△x|与|△y|为非零整数,
故|△x|=1,|△y|=2;或|△x|=2,|△y|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个,
分别为:(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2)、(2,1)、(2,-1)、
(-2,1)、(-2,-1).…(1分)
又因为 (△x)2+(△y)2=5,即(xi-0)2+(yi-0)2=5,
所以,这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心,以
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为半径的圆上.…(3分)
(II)设M(xM,yM),因为M=i(H),L=i(M),
所以有|xM-9|+|yM-3|=3,|xM-5|+|yM-3|=3,…(5分)
所以|xM-9|=|xM-5|,所以xM=7,故yM=2 或 yM=4,
所以M(7,2),或M(7,4).…(7分)
(III)当n=2k,且 k∈N* 时,|P0Pn|的最小值为0.例如:P0(x0,y0 ),
P1 (x0+1,y0 ),P2((x0,y0 ),显然,P0=i(P1),P1=i(P2),此时,|P0P2|=0.…(8分)
当n=1时,可知,|P0Pn|的最小值为
5
.…(9分)
当n=3 时,对于点P,按照下面的方法选择“相关点”,可得P3(x0,y0+1):
由P0(x0,y0 ),依次找出“相关点”分别为P1(x0+2,y0+1),P2(x0+1,y0+3),P3(x0,y0+1).
此时,|P0P3|=1,故|P0Pn|的最小值为1.…(11分)
然后经过3次变换回到P3(x0,y0+1),故|P0Pn|的最小值为1.
当n=2k+1,k>1,k∈N* 时,经过2k次变换回到初始点P0(x0,y0 ),
故经过2k+1次变换回到P3(x0,y0+1),故|P0Pn|的最小值为1.
综上,当 n=1 时,|P0Pn|的最小值为
5

当当n=2k,k∈N* 时,|P0Pn|的最小值为0,
当n=2k+1,k∈N* 时,|P0Pn|的最小值为1.   …(13分)
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(2013•海淀区一模)设A(xA,yA),B=(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令△x=xB-xA,△y=yB-yA,若|△x|+|△y|=3,且|△x|•|△y|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作:B=τ(A).已知P0(x0,y0)(x0,y0∈Z)为平面上一个定点,平面上点列{Pi}满足:Pi=τ(Pi-1),且点Pi的坐标为(xi,yi),其中i=1,2,3,…n.
(Ⅰ)请问:点P0的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;
(Ⅱ)求证:若P0与Pn重合,n一定为偶数;
(Ⅲ)若p0(1,0),且yn=100,记T=
ni=0
xi
,求T的最大值.

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(Ⅰ)请问:点p的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;
(Ⅱ)求证:若P与Pn重合,n一定为偶数;
(Ⅲ)若p(1,0),且yn=100,记T=,求T的最大值.

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