设函数f(x)=(1+x)2-2ln (1+x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.
(1)f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).
(2)(2-2ln 2,3-2ln 3].
解析试题分析:解 (1)函数的定义域为(-1,+∞),
因为f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),
所以f′(x)=2=
,
由f′(x)>0,得x>0;由f′(x)<0,得-1<x<0,
所以,f(x)的递增区间是(0,+∞),递减区间是(-1,0).
(2)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-2ln(1+x)=0,
记g(x)=x-a+1-2ln(1+x)(x>-1),
则g′(x)=1-=
,
由g′(x)>0,得x>1;
由g′(x)<0,得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异的实根,
只须g(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根,
于是有即
解得2-2ln 2<a≤3-2ln 3,
故实数a的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3].
考点:导数的运用,以及函数与方程
点评:解决的关键是根据导数判定函数单调性,以及函数的零点问题,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数(1)当
时,求
的最大值;(2)令
,(
),其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立,求实数
的取值范围;(3)当
,
,方程
有唯一实数解,求正数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设为常数,已知函数
在区间
上是增函数,
在区间
上是减函数.
(1)设为函数
的图像上任意一点,求点
到直线
的距离的最小值;
(2)若对任意的且
,
恒成立,求实数
的取值范围.
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