Question

已知椭圆C：（a＞b＞0），直线l过点A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB为直径作圆M，连接MO并延长，与椭圆C的第三象限部分交于N，若直线NB是圆M的切线，求椭圆的离心率；
（2）已知三点D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圆M与△DEG恰有一个公共点，求椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求椭圆的离心率，只需找到a，c的齐次式，根据直线NB是圆M的切线，则直线NB与直线AB垂直，斜率等于AB斜率的负倒数，得到直线NB的方程，再求出直线MO的方程，与直线NB联立，解为N点坐标，又因为N点在椭圆上，代入椭圆方程，即可得到含a，c的方程，解出离心率．
（2）圆M与△DEG恰有一个公共点，圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，由此可得两个含a，b的方程，解方程组可得．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（，）
∴直线MO方程为y=x
∵直线AB斜率为-，直线NB是圆M的切线，∴直线NB的斜率为
∴直线NB方程为y=x+b
由得N（，）
又∵N点在椭圆上，∴
化简，得2b⁴=（b²-a²）²
2a⁴-4a²c²+c⁴=0，∴e⁴-4e²+2=0
e²=2-，∴e=
（2）∵圆M与△DEG恰有一个公共点，∴圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，
∴b=a，
直线DE的方程为，即3x+4y-12=0
∴=
把b=a代入，化简，得，a=2，∴b=
椭圆方程为
点评：本题考查了椭圆离心率的求法，以及椭圆与圆的综合问题，综合性强．