Question

2．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\frac{x^2}{4}+\frac{4}{x^2}$+2，数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+2=$\sqrt{f（{a}_{n}+2）}$，a_n＞0，n∈N^*．求证：a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{8}{3}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 由已知条件推导出a_n+1=$\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}$-2，再求出数列的前四项，由此结合数列的单调性能证明a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{8}{3}$（n∈N^*）．

解答 证明：∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\frac{x^2}{4}+\frac{4}{x^2}$+2=（$\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$）²，
数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+2=$\sqrt{f（{a}_{n}+2）}$，a_n＞0，n∈N^*．
∴a_n+1+2=$\sqrt{f（{a}_{n}+2）}$=$\sqrt{（\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}$，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}+2}{2}+\frac{2}{{a}_{n}+2}$-2，
∴${a}_{2}=\frac{2+2}{2}+\frac{2}{2+2}-2=\frac{1}{2}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{2}+2}{2}+\frac{2}{\frac{1}{2}+2}-2$=$\frac{1}{20}$，
${a}_{4}=\frac{\frac{1}{20}+2}{2}+\frac{2}{\frac{1}{20}+2}-2$=$\frac{1}{1640}$，
$\frac{8}{3}$-（a₁+a₂+a₃）=$\frac{8}{3}-（2+\frac{1}{2}+\frac{1}{20}）$=$\frac{7}{60}$＞${a}_{4}=\frac{1}{1640}$，
∵{a_n}是减数列，n→+∞时，a_n→0，
∴a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{8}{3}$（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的前n项和小于$\frac{8}{3}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、完全平方和公式的合理运用．