Question

在平面上取定一点O，从O出发引一条射线Ox，再取定一个长度单位及计算角度的正方向（取逆时针方向为正），就称建立了一个极坐标系，这样，平面上任一点P的位置可用有序数对（ρ，θ）确定，其中ρ表示线段OP的长度，θ表示从Ox到OP的角度．在极坐标系下，给出下列命题：
（1）平面上的点A（2，-

π

6

）与B（2，2kπ+

11π

6

）（k∈Z）重合；
（2）方程θ=

π

3

和方程ρsinθ=2分别都表示一条直线；
（3）动点A在曲线ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2上，则点A与点O的最短距离为2；
（4）已知两点A（4，

2π

3

），B（

4 3

3

，

π

6

），动点C在曲线ρ=8上，则△ABC面积的最大值为

40 3

3

．
其中正确命题的序号为

 

（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由极坐标的定义即可判断出；
（2）方程θ=

π

3

表示直线y=

3

x，方程ρsinθ=2表示直线y=2；
（3）由曲线ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2利用倍角公式化为ρcosθ=4，即x=4，即可得出点A与点O的最短距离；
（4）点A（4，

2π

3

）化为(-2，2

3

)，B（

4 3

3

，

π

6

）化为(2，

2 3

3

)，曲线ρ=8化为x²+y²=64，则△ABC面积的最大值为

40 3

3

．利用点斜式可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d=2，可得圆上的点到直线AB的距离d的最大值为d+r=10，即可得出△ABC面积的最大值为

1

2

|AB|×10．

解答： 解：（1）平面上的点A（2，-

π

6

）与B（2，2kπ+

11π

6

）（k∈Z）重合，正确；
（2）方程θ=

π

3

表示直线y=

3

x，方程ρsinθ=2表示直线y=2，分别都表示一条直线，正确；
（3）曲线ρ（cos²

θ

2

-

1

2

）=2化为ρ(

cosθ+1

2

-

1

2

)=2，化为ρcosθ=4，即x=4，则点A与点O的最短距离为4，因此不正确；
（4）点A（4，

2π

3

）化为(-2，2

3

)，B（

4 3

3

，

π

6

）化为(2，

2 3

3

)，曲线ρ=8化为x²+y²=64，则△ABC面积的最大值为

40 3

3

．∴直线AB的方程为：y-2

3

=-

3

3

（x+2），化为x+

3

y-4=0，∴圆心到直线的距离d=

|4|

1+( 3 )2

=2，∴圆上的点到直线AB的距离d的最大值为d+r=10，|AB|=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

．∴△ABC面积的最大值为

1

2

|AB|×10=

40 3

3

，因此正确．
其中正确命题的序号为（1）（2）（4）．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．