Question

3．已知B₁、B₂是椭圆短轴的两个端点，O为椭圆的中心，过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，若|OF₁|，|F₁B₂|，|B₁B₂|成等比数列，则 $\frac{|O{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可以先设出椭圆的方程，因为过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，所以可以利用椭圆的方程及左焦点F₁求出|PF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，运用椭圆的定义，求得|PF₂|，可得再由等比数列的性质，得到方程进而求出a=$\sqrt{2}$b，即可得到所求值．

解答 解：由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=-c得y²=b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$）=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
∴|PF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，|PF₂|=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{|O{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{c}{2a-\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\frac{ac}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，
又由|F₁B₂|²=|OF₁|•|B₁B₂|得a²=2bc，
∴a⁴=4b²（a²-b²）．
∴（a²-2b²）²=0．∴a²=2b²．即a=$\sqrt{2}$b，
c²=a²-b²=b²，即c=b，
则$\frac{ac}{2{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}{b}^{2}}{3{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，即$\frac{|O{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故选：B．

点评 此题重点考查了椭圆的标准方程及其性质，等比中项等，还考查了椭圆的定义的运用，以及运算能力，属于中档题．