Question

5．已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-4|-a），a∈R．
（1）当a=-2时，求f（x）≥3的解集；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论去绝对值当x＜1时，-（x-1）-（x-4）≥6，
当1≤x≤4时，x-1-（x-4）≥6，即3≥6，不成立；当x＞4时求解即可．
（2）根据|a|+|b|≥|a-b|求解即可得出|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，把不等式恒成立问题转化为最值问题求解即可．

解答 （1）由题意得，当a=-2时，|x-1|+|x-4|+2≥8，即|x-1|+|x-4|≥6．
①当x＜1时，-（x-1）-（x-4）≥6，即5-2x≥6，∴x≤-$\frac{1}{2}$；
②当1≤x≤4时，x-1-（x-4）≥6，即3≥6，不成立；
③当x＞4时，x-1+x-4≥6，即2x≥11，∴x≥$\frac{11}{2}$．
综上知，f（x）≥3的解集为{x|x≤-$\frac{1}{2}$或x≥$\frac{11}{2}$．
（2）依题意知|x-1|+|x-4|＞a恒成立．而|x-1|+|x-4|≥|（x-1）-（x-4）|=3，
∴a＜3，即实数a的取值范围是（-∞，3）．

点评 本题考查了不等式的性质，对数函数的性质，不等式恒成立问题，属于中档题．