Question

某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示．

根据设计图纸已知：如图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 ．
（1）喷出的水流距水面的最大高度是多少？
（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
（3）若水流喷出的抛物线形状与（2）相同，喷头距水面0.35米，水池的面积为12.25π平方米，要使水流最远落点恰好落到水池边缘，此时水流最大高度达到多少米？

Answer 1

【答案】分析：（1）本题是二次函数在实际问题中的运用，y表示水流喷出的高度，x表示水平距离，是二次函数关系，可以利用二次函数的性质解题．
（2）欲使喷出的水流都落在水池内，即（1）中x至少为何值时，y＞0，根据方程与不等式间的关系，先解方程y=0即可得出x的值；
（3）在求另外一个二次函数关系式时，确定函数关系式要充分运用条件“水流喷出的抛物线形状与图（2）相同，喷头距水面0.35米”，求解析式．
解答：解：（1）y=-x²+2x+=-（x-1）²+1.8
答：喷出的水流距水面的最大高度为1.8米
（2）当y=0时-x²+2x+=0，
即（x-1）²=1.8，
解得x₁=1+，x₂=1-＜0（舍去）
答：水池半径至少为（1+）米．
（3）根据S=πr²，得12.25π=πr²，
∴r=3.5m
设抛物线解析式为y=-x²+bx+0.35（0≤x≤3.5）
把x=3.5，y=0代入，
得0=-3.5²+3.5b+0.35
解得b=3.4
∴y=-x²+3.4x+0.35，
即当x=1.7时，y_最大=3.24
答：水流最大高度为3.24米．
点评：本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．