Question

11．已知函数f（x）=2^x+a•2^-x，其中常数a≠0
（1）当a=1时，f（x）的最小值；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用不等式的基本性质求最值；
（2）利用f（-x）=-f（x）及f（-x）=f（x）求得a值，从而得到函数为奇函数或偶函数的a的取值；
（3）由原函数可得当a=256时，函数在（0，4）上是减函数，利用单调性直接转化为k-cosx≤k²-cos²x恒成立，分离参数求解即可得到k值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2^x+2^-x=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}≥2\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}=2$，
当且仅当${2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$，即x=0时取等号；
（2）f（x）的定义域为R，f（-x）=2^-x+a•2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}+a•{2}^{x}=\frac{a•{2}^{2x}+1}{{2}^{x}}$，
-f（x）=$-{2}^{x}-\frac{a}{{2}^{x}}=-\frac{{2}^{2x}+a}{{2}^{x}}$，f（x）=2^x+a•2^-x=${2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}=\frac{{2}^{2x}+a}{{2}^{x}}$，
由f（-x）=f（x），得$\frac{a•{2}^{2x}+1}{{2}^{x}}=\frac{{2}^{2x}+a}{{2}^{x}}$，即a•2^2x+1=2^2x+a，
∴（a-1）2^2x-（a-1）=0，即a=1；
由f（-x）=-f（x），得$\frac{a•{2}^{2x}+1}{{2}^{x}}=-\frac{{2}^{2x}+a}{{2}^{x}}$，即a•2^2x+2^2x+a+1=0，
∴（a+1）2^2x+a+1=0，即a=-1．
∴当a=1时，函数f（x）=2^x+a•2^-x为偶函数；当a=-1时，函数f（x）=2^x+a•2^-x为奇函数；
当a≠1且a≠-1时，f（x）=2^x+a•2^-x为非奇非偶函数；
（3）当k∈（1，2]时，0＜k-cosx≤3，0＜k²-cos²x≤4．
当a=256时，f（x）=2^x+256•2^-x=${2}^{x}+\frac{256}{{2}^{x}}$，
由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R，只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R），
即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
设$g（x）=co{s}^{2}x-cosx=（cosx-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．                
∴在区间k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．

点评 本题考查利用不等式的基本性质求最值，考查了函数的单调性和奇偶性，考查综合分析和解决问题的能力，体现了数学转化思想方法，是中档题．