Question

【题目】在平面直角坐标系中，平行四边形的周长为8，其对角线的端点，.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知点，记直线与曲线的另一交点为，直线，分别与直线交于点，.证明：以线段为直径的圆恒过点.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

(1)由椭圆的定义得到点的轨迹为以，为焦点的椭圆（除去长轴端点），结合椭圆的性质得到参数值；（2）将直线设为横截式，联立直线和椭圆方程，设出直线PA,PE,可得到，，根据韦达定理得到结果为0，进而得到线段为直径的圆恒过点.

（1）依题意得

∴点的轨迹为以，为焦点的椭圆（除去长轴端点）

设的方程为

∴，，

∴

（2）设直线的方程为，，

由得

易得，∴，

，

∴直线的方程为，直线的方程为

∴，.

∴，，∴

又

∴

∴∴以线段为直径的圆恒过点.