Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-3x-

3

4

．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若g(x)=4?f(x)+

7

2

x2，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用数轴标根法即可求解f（x）大于0的x的取值范围．
（2）利用函数f（x）与实数m的一种符号运算的定义再化简可获得g（x）=2x3-

21

2

x2+9x+3分析此函数的特征需利用导数判断其在区间[0，4]上单调性然后利用单调性求最值．

解答：解：（1）由f（x）＞0，得

1

2

x2-3x-

3

4

＞0
即2x²-12x-3＞0，解得x＜3-

42

2

或x＞3+

42

2

．
所以，x的取值范围为 (-∞，3-

42

2

)∪(3+

42

2

，+∞)
（2）g(x)=4?f(x)+

7

2

x2=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•{[

1

2

(x+4)2-3(x+4)-

3

4

]-(

1

2

x2-3x-

3

4

)}+

7

2

x2
=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(

1

2

×8x+

1

2

×16-3×4)+

7

2

x2
=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(4x-4)+

7

2

x2
=2x3-

21

2

x2+9x+3
对g（x）求导，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）
令g'（x）=0，解得x=

1

2

或x=3
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	0	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，3)	3	（3，4）	4
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	3	↗	41 8	↘	- 21 2	↗	-1

所以，g（x）在区间[0，4]上的最大值为

41

8

，最小值为-

21

2

点评：本题主要考查了里利用数轴标根法解一元二次不等式和导数判断函数的单调性进而求函数的最值．第一问属常规题目较简单而第二问要判断导函数g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）在区间[0，4]上的正负进而判断函数的单调性这一步十分重要！