练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
    （Ⅰ）判断函数f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
    （Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
    （Ⅲ）若函数g(x)=mx+
    		x2+2x+n
    是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．
    分析：（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，欲判断其是否是“平底型”函数，只须f1（x）＞=1是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；同理，对于函数f2（x）=x+|x-2|，也是如此验证．
    （Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t-k|+|t+k|）min≥|k|•f（x）．故只须2|k|≥|k|•f（x）也即f（x）≤2最后即可解出实数x的范围．（Ⅲ）因为函数g(x)=mx+
    		x2+2x+n
    是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，则存在区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得mx+
    		x2+2x+n
    =c    恒成立．
    所以x2+2x+n=（mx-c）2恒成立，得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数即可解决问题．
    解答：解：（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f1（x）=1．
    当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f1（x）是“平底型”函数．（2分）
    对于函数f2（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f2（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x-2＞2，所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
    故f2（x）不是“平底型”函数．（4分）
    （Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t-k|+|t+k|）min≥|k|•f（x）．
    因为（|t-k|+|t+k|）min=2|k|，所以2|k|≥|k|•f（x）．又k≠0，则f（x）≤2．（6分）
    因为f（x）=|x-1|+|x-2|，则|x-1|+|x-2|≤2，解得
    1
    2
    ≤x≤
    5
    2
    ．
    故实数x的范围是[
    1
    2
    ，
    5
    2
    ]    ．（8分）
    （Ⅲ）因为函数g(x)=mx+
    		x2+2x+n
    是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，则
    存在区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得mx+
    		x2+2x+n
    =c    恒成立．
    所以x2+2x+n=（mx-c）2恒成立，即
    m2=1
    -2mc=2
    c2=n
    ．解得
    m=1
    c=-1
    n=1
    或
    m=-1
    c=1
    n=1
    ．（10分）
    当
    m=1
    c=-1
    n=1
    时，g（x）=x+|x+1|．
    当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
    此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（11分）
    当
    m=-1
    c=1
    n=1
    时，g（x）=-x+|x+1|．
    当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
    此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（12分）
    综上分析，m=1，n=1为所求．（13分）
    点评：本小题主要考查函数的概念及其构成要素、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•成都二模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈D，且x1＜x2时都有 f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又当x∈[0，
    1
    4
    ]    时，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命题：
    ①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
    ②当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，时，f（x1）≠f（x）
    ③?x∈[
    1
    4
    ，
    3
    4
    ]    时，都有f(x)=
    1
    2

    ④函数f（x）的图象关于点(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    对称
    其中你认为正确的所有命题的序号为
    ①③④
    ①③④
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
    （1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
    （1）若函数g（x）=
    3x+ax+1
    在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
    （1）若函数h（x）=x3-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，．使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（X）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
    ①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
    ②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；
    ③函数f（x）=-|x+2|-|x-1|为R上的“平顶型”函数；
    ④函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数．
    则以上说法中正确的是
    ①③
    ①③
    ．（填上你认为正确结论的序号）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
    ①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
    ②函数f（x）=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数；
    ③函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；
    ④当t≤
    3
    4
    时，函数，f(x)=
    2，(x≤1)
    log
    1
    2
    (x-t)，(x＞1)
    是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．
    其中正确的是
    ①②④
    ①②④
    ．（填上你认为正确结论的序号）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案