Question

如图所示，在三棱锥PABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．

(1)求证：AB⊥平面PBC；
(2)设AB＝BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
(3)在(2)的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

(1)由PC⊥平面ABC，得AB⊥PC.由点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，
得到CD⊥平面PAB.进一步推出AB⊥平面PBC.
(2)异面直线AP与BC所成的角为60°.

(3)所求二面角的余弦值为.

试题分析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，
∴CD⊥平面PAB.
又∵AB?平面PBA，∴AB⊥CD.
又∵CD∩PC＝C，∴AB⊥平面PBC.
(2)∵PC⊥平面ABC，
∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角．
于是∠PAC＝45°，设AB＝BC＝1，则PC＝AC＝，以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，
＝(1，－1，)，＝(1,0,0)，
∵cos〈，〉＝＝，∴异面直线AP与BC所成的角为60°.

(3)取AC的中点E，连接BE，则＝（，，0），
∵AB＝BC，∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC，
∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，得
∴n＝(－，0,1)．
于是cos〈n，〉＝＝＝－.
又∵二面角C-PA-B为锐角，∴所求二面角的余弦值为.
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。