Question

【题目】设椭圆的右焦点为，以原点为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆的两焦点，且该圆截直线所得的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满足，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可知，，再由圆截直线所得的弦长为，得，可求出，从而求出的值，可得到椭圆的标准方程；

（2）设过点的直线为，与椭圆方程联立成方程组，消元后得，先使判别式大于零，求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到，然后结合将点的坐标表示出来代入椭圆方程中可出的值，从而可得直线的方程.

（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为.

∵ 圆过椭圆的两焦点， ∴，

∵ 圆截直线所得的弦长为.

∴ ，解得，

∴ .

∴ 椭圆的标准方程为.

（2）设过点的直线方程为.

，两点的坐标分别为，，

联立方程，得，，

∴ ，

∵ ，∴点，

∵ 点在椭圆上，∴有，

即，

∴ ，

即，解得，符合，

直线方程为.

（2）方法二：由题意知直线的斜率存在，

设过定点的直线为，

，，

则直线与轴交于点，

因为，所以，

将直线与椭圆联立并化简可得，

，

则，

解得，

所以，，

所以，

因为点在椭圆上，

所以满足椭圆方程，

将，代入得，

，

化简得，

直线方程为.