Question

已知函数f(x)=

1

4x+2

（1）证明：函数f（x）关于点(

1

2

，

1

4

)对称．
（2）求f(0)+f(

1

8

)+f(

2

8

)+…+f(

7

8

)+f(1)的值．

Answer 1

分析：（1）设曲线上任意一点A（（x₁，y₁），求出它关于(

1

2

，

1

4

)的对称点，将横坐标代入函数f（x），看对称点是否适合函数即可．
（2）利用（1）的对称性，它f(0)+f(

1

8

)+f(

2

8

)+…+f(

7

8

)+f(1)中自变量，关于

1

2

对称，所以函数值容易求得．

解答：解：（1）设曲线上任意一点A（（x₁，y₁）关于(

1

2

，

1

4

)的对称点A′(1-x1，

1

2

-y1)，
由f(1-x1)=

1

41-x1+2

=

4x1

4+2•4x1

=

4x1+2-2

2(4x1+2)

=

1

2

-

1

4x1+2

=1-y1
所以图象过A′(1-x1，

1

2

-y1)
所以f（x）关于点(

1

2

，

1

4

)对称．
（2）由（1）的对称性，所以f(

4

8

) =

1

4

，  f(

3

8

)+f (

5

8

)=f(

2

8

)+f(

6

8

)=f(

1

8

) +f(

7

8

) =f( 0)+f(1) =

1

2

f(0)+f(

1

8

)+f(

2

8

)+…+f(

7

8

)+f(1)=

9

4

点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，函数的值，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．