Question

在数列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；
(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数都有.

Answer 1

(Ⅰ)  ， (Ⅱ)
所以
所以只需要证明
（显然成立），所以命题得证

试题分析：(Ⅰ)容易求得：.          1分
故可以猜想.下面利用数学归纳法加以证明：
显然当时，结论成立.                       2分
假设当；时（也可以），结论也成立，即
,.                                  3分
那么当时，由题设与归纳假设可知：
   4分
即当时，结论也成立，综上，对,成立.       6分
(Ⅱ)，  8分
所以
.                              10分
所以只需要证明

（显然成立）
所以对任意的自然数，都有.      12分
点评：数学归纳法用来证明与正整数有关的题目，证明步骤：1，证明当时命题成立。2，假设当时命题成立，借此证明当是命题成立，综上1，2得证；数列求和常用的方法有分组求和裂项相消求和错位相减求和等