分析 (Ⅰ)取DC的中点O,连结PO,OA,则PO⊥DC,AO⊥DC,取PA的中点N,连结ON,MN,推导出四边形MNOC为平行四边形,CM⊥PA,由此能证明PA⊥平面CDM.
(Ⅱ)以O为原点,OA,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出当点M是PB的中点时,二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
解答 证明:(Ⅰ)取DC的中点O,连结PO,OA,
则PO⊥DC,AO⊥DC,
又PO∩OA=O,∴PO⊥平面POA,∴CD⊥PA,
取PA的中点N,连结ON,MN,
由M为PB的中点,得四边形MNOC为平行四边形,
∴OM∥ON,
又在△POA中,OP=OA,N为PA中点,则ON⊥PA,∴CM⊥PA,
又CM?平面CDM,CD?平面CDM,CM∩CD=C,
∴PA⊥平面CDM.
解:(Ⅱ)由平面PDC⊥平面ABCD,得PO⊥平面ABCD,
以O为原点,OA,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设DC=2,则D(0,-1,0),C(0,1,0),B(1,2,0),P(0,0,1),
设平面MCB的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
$\overrightarrow{CB}$=(1,1,0),$\overrightarrow{CP}$=(0,-1,1),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=-y+z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=(-1,1,1),
设$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PB}$,(0<λ<1),则M(λ,2λ,1-λ),
$\overrightarrow{DC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{CM}$=(λ,2λ-1,1-λ),
设平面DCM的法向量为$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=λa+(2λ-1)b+(1-λ)c=0}\end{array}\right.$,取c=1,得$\overrightarrow{m}$=($\frac{λ-1}{λ}$,0,1),
∵二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴|cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>|=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-\frac{λ-1}{λ}+1|}{\sqrt{3}•\sqrt{(\frac{λ-1}{λ})^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
解得$λ=\frac{1}{2}$,
∴当点M是PB的中点时,二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | 不能确定 |
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A. | $\frac{2}{7}$ | B. | $\frac{3}{7}$ | C. | $\frac{4}{7}$ | D. | $\frac{5}{7}$ |
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