Question

设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．
（1）判断函数f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素，并说明理由；
（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f^-1（x），并证明f^-1（x）∈M；
（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，所以f（x）=-x+1∈M（2分）
因为g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等x，所以g（x）∉M
（2）因为f（x）=log₂（1-2^x），所以x∈（-∞，0），f（x）∈（-∞，0）…（5分）
函数f（x）的反函数f^-1（x）=log₂（1-2^x），（x＜0）…（6分）
又因为f^-1（f^-1（x））=log₂（1-）=log₂（1-（1-2^x））=x…（9分）
所以f^-1（x）∈M…（10分）
（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，
∴
即解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）
由f（x）＜1，得＜1即…（13分）
若a=1则＜0，所以x∈（-∞，1）…（14分）
若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（-∞，a）∪（，+∞）…（16分）
若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）
分析：（1）欲判断函数f（x）=-x=1，lg（x）=2x-1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；
（2）先求出函数f（x）的反函数f^-1（x），然后直接根据题中的定义判断f^-1（x）是否是M的元素即可；
（3）根据定义，问题可转换为f₂（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．