Question

【题目】如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为右焦点为，右准线l的方程为，过焦点F的直线与椭圆C相交于点A，B（不与点重合）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当直线AB的倾斜角为45°时，求弦AB的长；

（3）设直线交l于点M，求证：B，，M三点共线.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）由题意结合椭圆性质可得、，即可得解；

（2）由题意直线，设，，联立方程组可得，，再利用弦长公式即可得解；

（3）设直线，，，易得，转化结论为证明成立，联立方程组即可得，，进而可得，即可得证.

（1）设椭圆C的焦距为2c．由题意得．

又右准线l的方程为，所以，

所以，，

所以椭圆的标准方程为，

（2）设，，

因为直线的倾斜角为且过点，

所以直线，

联立，消去得，，

所以，，

所以；

（3）由题意可得，，

因为直线AB的斜率不为0，

所以设直线，，，

则直线，令，得，所以；

要证，，三点共线，只需证，

即证，即证；

联立，消去x得，，

所以，，

所以，

所以，，三点共线．