【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A=D1D= ,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:A1O∥平面AB1C;
(Ⅱ)求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:如图,连接CO,AC,
则四边形ABCO为正方形,
∴OC=AB=A1B1,且OC∥AB∥A1B1
∴四边形A1B1CO为平行四边形,
∴A1O∥B1C,
又∵A1O平面AB1C,B1C平面AB1C,
∴A1O∥平面AB1C.…
(Ⅱ)∵D1A=D1D,O为AD的中点,
∴D1O⊥AD,又侧面ADD1A1⊥底面ABCD,
∴D1O⊥底面ABCD,…
以O为原点,OC,OD,OD1所在直线分别为x轴,y轴,Z轴,
建立如图所示的坐标系,
由题意得:C(1,0,0),D(0,1,0),
D1(0,0,1),A(0,﹣1,0),…
∴ , =(0,﹣1,1),
=(0,﹣1,﹣1), =(1,﹣1,0),
设 为平面CDD1C1的一个法向量,
则 ,∴ ,
令Z=1,则y=1,x=1,∴ ,…
设 为平面AC1D1的一个法向量,
则 ,∴ ,令Z1=1,
则y1=﹣1,x1=﹣1,∴ ,
∴ ,
∴所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为 .…
【解析】(1)连接CO,AC易证为平行四边形,由此可证∥平面;(2)以O为坐标原点,OC,OD,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用法向量求出锐二面角。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中t为参数).现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ.
(Ⅰ) 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 过点M(﹣1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求|AB|.
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【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.图中,已知课程A,B,C,D,E为人文类课程,课程F,G,H为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合图表,采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).
(Ⅰ)在“组M”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动,从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往,其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动,费用为每人1500元,选择课程G的同学参加,费用为每人2000元.
(ⅰ)设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数,求随机变量X的分布列;
(ⅱ)设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和,求随机变量Y的期望.
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【题目】如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△B'CD的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2 ,如图2.
(1)求证:FA∥平面BC'D;
(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;
(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, ,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为( )
A.[ ,1)
B.[ ,1]
C.( ,1)
D.[ ,1)
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【题目】如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF;
(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小;
(Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°?
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【题目】已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)k为何值时,方程f(x)-k=0只有1个根
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1∈R,总存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范围
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax2(a∈R).
(1)若g(x)= 有三个极值点x1 , x2 , x,求a的取值范围;
(2)若f(x)≥﹣ax3+1对任意x∈[0,1]都恒成立的a的最大值为μ,证明:5 .
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