Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

即可求出MN的长；
（2）根据（1）将MN 关于a的函数进行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值时a的取值；
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，结合图形可二面角与之互补．

解答：解（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．
∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

2

2

a
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=
=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
（2）由（1）
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=
=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
所以，当时，MN=

2

2

即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为

2

2

（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G为的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α
又AG=BG=

6

4

，所以，由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

故所求二面角为：α=π-arccos

1

3

点评：本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．