分析 (1)令t=2x,则t>0,f(x)=y=t-t2,结合二次函数的图象和性质,求出函数的最值,进而可得函数的值域;
(2)当x∈(-∞,-1]时,t=2x∈(0,$\frac{1}{2}$],结合二次函数的图象和性质,指数函数的图象和性质及,复合函数单调性同增异减的原则,可得结论.
解答 解:(1)令t=2x,则t>0,f(x)=y=t-t2,
∵y=t-t2的图象是开口朝下,且以直线t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线,
故当t=$\frac{1}{2}$,即x=-1时,函数取最大值$\frac{1}{4}$,无最小值,
故函数的f(x)的值域为(-∞,$\frac{1}{4}$];
证明:(2)∵x∈(-∞,-1]时,t=2x∈(0,$\frac{1}{2}$],
此时t=2x为增函数,y=t-t2也为增函数,
根据复合函数单调性同增异减的原则,可得:
函数f(x)在区间(-∞,-1]的单调递增.
点评 本题考查的知识点是次函数的图象和性质,指数函数的图象和性质及,复合函数单调性,换元法,难度中档.
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A. | -$\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $-\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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A. | 奇函数 | B. | 偶函数 | ||
C. | 既是奇函数又是偶函数 | D. | 非奇非偶函数 |
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