精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
12.已知f(x)=2x-4x
(1)若x∈[-2,2],求函数f(x)的值域;
(2)求证:函数f(x)在区间(-∞,-1]的单调递增.

分析 (1)令t=2x,则t>0,f(x)=y=t-t2,结合二次函数的图象和性质,求出函数的最值,进而可得函数的值域;
(2)当x∈(-∞,-1]时,t=2x∈(0,$\frac{1}{2}$],结合二次函数的图象和性质,指数函数的图象和性质及,复合函数单调性同增异减的原则,可得结论.

解答 解:(1)令t=2x,则t>0,f(x)=y=t-t2
∵y=t-t2的图象是开口朝下,且以直线t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线,
故当t=$\frac{1}{2}$,即x=-1时,函数取最大值$\frac{1}{4}$,无最小值,
故函数的f(x)的值域为(-∞,$\frac{1}{4}$];
证明:(2)∵x∈(-∞,-1]时,t=2x∈(0,$\frac{1}{2}$],
此时t=2x为增函数,y=t-t2也为增函数,
根据复合函数单调性同增异减的原则,可得:
函数f(x)在区间(-∞,-1]的单调递增.

点评 本题考查的知识点是次函数的图象和性质,指数函数的图象和性质及,复合函数单调性,换元法,难度中档.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.若函数y=2x3-mx+1在区间[1,2]上单调,则实数m的取值范围为(-∞,6]∪[24,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.已知复数z1=x+8i,z2=3+2yi,z=x+yi(x、y∈R),若z1=z2
(1)求|z|;
(2)若z是关于x的方程x2-mx+n=0(m、n∈R)的一个根,求m、n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.已知sinα=-$\frac{3}{5}$,α∈($\frac{3}{2}π,2π$),则tanα等于(  )
A.-$\frac{4}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.$-\frac{3}{4}$D.$\frac{3}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.cos$\frac{π}{7}$+$cos\frac{3π}{7}$+cos$\frac{5π}{7}$=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.设数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,且Sn+1=n2+an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an•2${\;}^{{a}_{n}}$,Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.将函数y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度,所得图象对应的函数是(  )
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算器):
(1)cos$\frac{65}{6}$π;             
(2)sin(-$\frac{31}{4}π$);           
(3)cos(-1182°13′);
(4)sin670°39′;         
(5)tan(-$\frac{26π}{3}$);           
(6)tan580°21′.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知全集U=R,A={x|x≥1},B={x|2ax-5>0},
(1)若a=1,求A∩(∁UB).
(2)若A⊆B,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案