Question

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）记表示事件“第2局结果为甲胜”，
表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”.
则.                              3分
.           6分
（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2.
记表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.
则
，
，    10分
.    12分
（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A表示事件“第4局甲当裁判”和表示事件“第2局结果为甲胜”， 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.因当x=1时较为复杂，故采用对立事件概率问题进行求解，即
【考点定位】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.