Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=1，记|$\overrightarrow{c}$|的最大值为M，最小值为m，则M+m=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值，再利用绝对值不等式求出|$\overrightarrow{c}$|的最大值与最小值．

解答 解：如图所示，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=1，
∴OA=OB=AB=1，
∴OP=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+2×1×1×cos\frac{π}{3}{+1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|-|$\overrightarrow{c}$|，
∴|$\overrightarrow{c}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$-1；
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|≥|$\overrightarrow{c}$|-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴|$\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1+$\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{3}$-1≤|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{3}$+1，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值为M=$\sqrt{3}$+1，最小值为m=$\sqrt{3}$-1，
∴M+m=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了绝对值不等式的应用问题，是基础题目．