Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线分别相交于异于原点的点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 直线的极坐标方程为：.的直角坐标方程为. (2)

【解析】

（1）由直线的参数方程可知，直线过原点且倾斜角直线的为的直线，由此可表示出直线的极坐标；利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到曲线的直角坐标方程；

（2）点的极坐标分别为，得到|PQ| ，再利用三角函数的性质求出的取值范围。

解：（1）因为直线的参数方程为（其中为参数），

所以直线表示过原点且倾斜角直线的为的直线，则其极坐标方程为：

.

曲线的极坐标方程可化为，

即，

因此曲线的直角坐标方程为.

（2）设点的极坐标分别为，

则

因为，即，所以的取值范围为.